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哲学の再構築 アンリ・ポアンカレ(1854-1912)(2)数学において「無限」の推論を支える公理は、経験により検証可能なものとは思えないにもかかわらず、自明なものとして服従を強制されているようにも思える。

 それがはるか過去に到達されたものであっても、誰によって唱えられたものであっても、真理は普遍的なものであって、時代により異なる光が当てられ、異なる表現が与えられても、同じ真理は確固として、ここに存在する。かつて哲学がめざした総合的な知恵の一部は、細分化された諸学の分野へと分離され、展開せしめられたが、現在なお、総合的な知恵たる真の哲学体系は存在しないように思われる。当哲学講座は、古今東西の主だった先哲の、受け継ぐべき最低限の最良部分の成果物を、一つの総合的な知恵の体系として記述する試みである。まず各先哲の内部体系として記述され、後に総合的な体系のなかで再記述されるだろう。

【数学において「無限」の推論を支える公理は、経験により検証可能なものとは思えないにもかかわらず、自明なものとして服従を強制されているようにも思える。】
 数学の定理に「無限」がかかわってくるときに、数学的帰納法(もしくは、これと同等の公理)が必要になる。この数学的帰納法による証明は、我々が実際に無限の推論を展開できるわけではないという意味で、経験から真であることが知られるわけではない。またそれが、無限にかかわる限り、争うことのできない自明なものとして服従を強制されているように思われることから、任意に採否が決められる「規約」とも思えない。
 「もしある定理が1なる数について真であって、この定理が n なる数につき真であるかぎり、 n + 1 なる数についても真であることを証明したならば、この定理は正の整数すべてについて真であるとする「出直し法による推理の根拠となる判断は別の形に直すことができる。たとえば相異なる正の整数の無限集合のうちには、集合中のほかのどれよりも小さい一数がいつでも存在するといえる。一つの命題から別の命題に容易に移れるところをみると、出直し法による推理の正当なことを証明したという幻想を抱く人もあるかもしれない。しかしいつでも途中で障害にあう、いつでも証明し得ない公理に到達する。そうしてこれは根本においては、証明すべき命題を別の言葉に翻訳したものにほかならない。
 だから出直し法による推理の規則は矛盾律に引き直し得ないというその結論からまぬかれることはできない。
 そのうえこの規則は経験から来たのでもない。経験が我々に教え得るのは、ある規則が例えば十までの数についてとか、百までの数についてとか真であるということで、経験は際限のない数の系列に追いつくことはできない。できるのは、ただこの系列のうちの、長くても短くてもとにかく必ず限られた一部分に過ぎない。
 ところでそれだけの話だとすれば、矛盾律だけで十分である。これによると我々はいつでも欲しいだけの三段論法を展開することができる。ところがただ一つの公式に無限のものを含ませる場合、ただ無限に対する場合だけこの原理は効果を失い、またその場合には経験も同様に無効になる。分析的な証明によっても、経験によっても捕えられないこの規則は先天的総合判断の真の典型である。しかもこれを幾何学の要請のあるもののように、一つの規約と認めようとするわけにもいかない。」
(アンリ・ポアンカレ(1854-1912)『科学と仮説』第1章、6、pp.34-35)



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 さて、まとめとして下記に一覧化しておきます。




1. 問題:諸公理と推論規則による演繹体系である数学は、なぜ、大規模な同語反復に帰しないのであろうか。この豊かな諸成果は、何からもたらされるのか?
2. 数学において「無限」の推論を支える公理は、経験により検証可能なものとは思えないにもかかわらず、自明なものとして服従を強制されているようにも思える。



(出典:wikipedia

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